الحركة الدائرية (2).. الحركة الدائرية المنتظمة - مسائل

تعريف :

الحركة الدائرية المنتظمة هي حركة مسارها دائري وقيمة السرعة العددية فيها ثابتة ..

توابع الحركة و علاقاتها

أولاً : المقادير الخطية :

\begin{array}{l} السرعة الخطية \\ v = c o n s t \\ الفاصلة الدائرية \\ s = v . t + s_{0} \\ المسافة \\ d = s - s_{0} = v . t \\ التسارع ناظمي \\ a = a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = ω^{2} . r \end{array}

شرح الرموز:

a_C

: التسارع الناظمي

m.s^-2

الإثبات :

معادلة الفاصلة و المسافة :

الحركة سرعتها ثابتة القيمة إذاً تساوي السرعة الوسطية :

\begin{array}{l} v = v_{a v g} = \frac{Δ s}{Δ t} = \frac{s - s_{0}}{t - 0} \Rightarrow \\ s - s_{0} = v . t = d \\ s = v . t + s_{0} \end{array}

التسارع :

\begin{array}{l} \vec{a} ⊥ \vec{v} \Rightarrow \\ a = a_{c} = \frac{v^{2}}{r} \begin{matrix}  \end{matrix} : v = ω . r \Rightarrow \\ a = a_{c} = \frac{{(ω . r)}^{2}}{r} = ω^{2} . r \end{array}

ثانياً : المقادير الزاوية :

\begin{array}{l} السرعة الزاوية \\ ω = c o n s t \\ الفاصلة الزاوية \\ θ = ω . t + θ_{0} \\ الزاوية الممسوحة \\ Δ θ = θ - θ_{0} = ω . t \\ التسارع الزاوي معدوم \\ α = 0 \end{array}

الإثبات :

الحركة منتظمة فالسرعة الزاوية ثابتة تساوي السرعة الزاوية الوسطية :

\begin{array}{l} ω = ω_{a v g} = \frac{Δ θ}{Δ t} = \frac{θ - θ_{0}}{t - 0} \Rightarrow \\ θ - θ_{0} = ω . t = θ \\ θ = ω . t + θ_{0} \end{array}

شرح الرموز:

ثالثاً : الدور و التواتر :

ونستطيع إيجاد علاقة بينهما ببساطة .

T = \frac{t}{n}

f = \frac{n}{t}

f = \frac{1}{T} \begin{matrix} \Leftrightarrow \end{matrix} T = \frac{1}{f}

يقدر الدور بالجملة الدولية بالثانية s أما التواتر يقدر بالهرتز Hz و هو مقلوب الثانية .

علاقة الدور والتواتر بالسرعة الخطية أو الزاوية :

عندما يدور المتحرك دورة واحدة يلزمه دور واحد يقطع خلاله مسافة تساوي محيط الدائرة :

\begin{array}{l} d = 2 π r \\ t = T \end{array}} \Rightarrow v = \frac{2 π r}{T} \Rightarrow {\begin{cases} T = \frac{2 π r}{v} \\ f = \frac{v}{2 π r} \end{cases}

وبنفس الصورة عند اتمام دورة كاملة يسمح زاوية توافق زاوية كاملة خلال زمن مقداره دور واحد :

\begin{array}{l} Δ θ = 2 π r \\ t = T \end{array}} \Rightarrow ω = \frac{2 π}{T} \Rightarrow {\begin{cases} T = \frac{2 π}{ω} \\ f = \frac{ω}{2 π} \end{cases}

مسألة 1 :

دولاب بكرة تستعمل لرفع الأحمال نصف قطره 20cm يتحرك بمعدل 300rbm و المطلوب :

الحل :

1- حساب الدور و السرعة الزاوية .

\begin{array}{l} [\begin{array}{l} r = 20 c m = 0.2 m \\ f = 300 r p m = 300 \min^{- 1} = \frac{300}{60} = 5 H z \begin{matrix}  \end{matrix} \end{array}] \\ الدور \\ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5} = 0.2 s \\ السرعة الزاوية \\ f = \frac{ω}{2 π} \Rightarrow ω = 2 π f : \\ ω = 2 π \times 5 = 10 π r a d . s^{- 1} \end{array}

rpm تعني دورة في الدقيقة .

2- حساب عدد الدورات :

\begin{array}{l} [\begin{array}{l} r = 0.2 m \\ d = 20 m \\ ω = 2 π \times 5 = 10 π r a d . s^{- 1} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{array}] \\ السرعة \\ v = ω . r = 10 π \times 0.2 = 2 π m . s^{- 1} \approx 6.25 m . s^{- 1} \\ نحسب الزمن \\ d = \frac{v}{t} \Rightarrow t = \frac{d}{v} \\ t = \frac{20}{6.25} = 3.2 s \end{array}

مسألة 2 :

تدور سيارة تتحرك بسرعة 108km/h على منعطف دائري نصف قطره 1km و يشكل زاوية مقدارها 60° حول مركزه :

الحل :

1-حساب التسارع و السرعة الزاوية و الزمن اللازم للانعطاف

\begin{array}{l} [\begin{array}{l} v = 108 k m / h = 30 m . s^{- 1} \begin{matrix}  \end{matrix} \\ r = 1 k m = 1000 m \\ Δ θ = 60^{\circ} = \frac{π}{3} r a d \end{array}] \\ التسارع ناظمي \\ a = a_{c} = \frac{v^{2}}{r} : \\ a = a_{c} = \frac{30^{2}}{1000} = 0.9 m . s^{- 2} \\ السرعة الزاوية \\ ω = \frac{v}{r} : \\ ω = \frac{30}{1000} = 0.03 r a d . s^{- 1} \\ الزمن \\ Δ θ = ω . t \Rightarrow t = \frac{Δ θ}{ω} \\ t = \frac{\frac{π}{3}}{0.03} = 34.90 s \approx 35 s \end{array}

2- حساب عدد دورات الدولاب :

\begin{array}{l} [\begin{array}{l} 2 r = 50 c m = 0.5 m : r = 0.25 m \begin{matrix}  \end{matrix} \\ v = 30 m . s^{- 1} \\ t = 1 \min = 60 s \\ n = ? \end{array}] \\ الدور \\ T = \frac{2 π r}{v} \\ T = \frac{2 π \times 0.25}{30} = 0.052 s \\ عدد الدورات \\ T = \frac{t}{n} \Rightarrow n = \frac{t}{T} \\ n = \frac{60}{0.052} \approx 1154 c y c l e \end{array}

موقع محمد المستريحي