شعاع السرعة و شعاع التسارع (3) ..جملة المقارنة المرتبطة بالمسار

جملة المقارنة المرتبطة بالمسار "الفاصلة المنحنية":

ذكرنا سابقاً أنه عندما يكون المسار معلوماً .. نحدد عليه مبدأ للفواصل و نحدد على المسار اتجاه موجب للحركة ..

ونحدد الموضع من خلال الفاصلة المنحنية التي تقدر بطول القوس الجبري بين المبدأ و المتحرك وفق حامل المسار .

أي :

s = \overset{⌢}{O N} = f (t)

و ترتبط عادة جملة الفاصلة المنحنية بمحورين متعامدين هما :

شعاع السرعة :

بما أن شعاع السرعة كما درسنا سابقاً محمول على المماس..

فإن عبارة شعاع السرعة تعطى بالعبارة :

\vec{v_{}} = v . \vec{u_{T}}

حيث أن:

شعاع الواحدة على المماس \vec{u_{T}}

v السرعة العددية

حيث أن السرعة العددية :

v = \frac{_{}^{} d s_{}^{}}{d t} = (s)'_{t}

شعاع التسارع :

شعاع التسارع له مركبتين مماسية و ناظمية ..

لذلك يعطى بالعبارة :

\vec{a_{}} = \vec{a_{T}} + \vec{a_{C}}

تدعى التسارع المماسي تعبر عن تغير القيمة الجبرية لشعاع السرعة أي أنها تعبر عن تغير قيمة السرعة العددية
علاقة التسارع المماسي :

a_{T} = \frac{d v}{d t} = (v)'_{t} = (s)''_{t}

تدعى التسارع الناظمي وتعبر عن تغيرحامل شعاع السرعة أي أن التسارع الناظمي مسؤول عن توجيه شعاع السرعة وبالتالي انحناء المسار
علاقة التسارع الناظمي :

a_{C} = \frac{_{}^{} v^{2}}{r}

r هو نصف قطر انحناء المسار في تلك النقطة .
v السرعة العددية في تلك النقطة .

وتعطى شدة التسارع الكلي بالعلاقة :

a = \sqrt{a_{T}^{2} + a_{C}^{2}}

مناقشة التسارع المماسي و التسارع الناظمي :

حالات خاصة :

بالتالي السرعة ثابتة و نصف القطر ثابت أي الحركة دائرية منتظمة

بالتالي المسار مستقيم والتسارع ثابت أي حركة مستقيمة منتظمة

توضيح : في السيارة

في السيارة تتحكم الدواسات الخاصة بالوقود و المكابح و مقابض التغيير بقيمة السرعة الجبرية " بطيء - سريع" و كذلك "أمام - خلف" أي القيمة الموجبة أو السالبة للسرعة و هذه الأدوات تولد ما ندعوه التسارع المماسي .
أما المقود يغير منحى شعاع السرعة أي يغير انحناء المسار وهنا نقول بأنه يتولد من هذا الجزء التسارع الناظمي .

تمرين :

يتحرك متحرك على مسار دائري نصف قطره 4m وتابع فاصلته اللحظية يعطى بالعلاقة :

s = 2 t^{3} - 4 t^{2}

أحسب فاصلته و سرعته وتسارعه عندما t=2s.

الحل :

\begin{array}{l} s = 2 t^{3} - 4 t^{2} \\ s = 2 \times 2^{3} - 4 \times 2^{2} \\ s = 8 m \end{array}

\begin{array}{l} v = (s)'_{t} = 6 t^{2} - 8 t \\ v = 6 \times 2^{2} - 8 \times 2 \\ v = 8 m . s^{- 1} \end{array}

\begin{array}{l} a_{T} = (v)'_{t} = 16 t - 8 \\ a_{T} = 16 \times 2 - 8 \\ a_{T} = 24 m . s^{- 2} \end{array}

\begin{array}{l} a_{C} = \frac{_{}^{} v^{2}}{r} \\ a_{C} = \frac{_{}^{} 8^{2}}{4} \\ a_{C} = 16 m . s^{- 2} \end{array}

\begin{array}{l} a = \sqrt{a_{T}^{2} + a_{C}^{2}} \\ a = \sqrt{24^{2} + 16^{2}} = \sqrt{832} \\ a = 28.84 m . s^{- 2} \approx 29 m . s^{- 2} \end{array}

موقع محمد المستريحي