شعاع السرعة و شعاع التسارع (2) ..جملة المقارنة الديكارتية

تذكرة : 

يعطى شعاع الموضع في جملة المقارنة الديكارتية : 

$$\overrightarrow{ON}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}$$

شعاع السرعة في جملة المقارنة الديكارتية : 

بما أن  شعاع الموضع في جملة المقارنة الديكارتية : 

$$\overrightarrow{ON}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}$$

بما أن شعاع السرعة هو مشتق شعاع الموضع ..فإن : 

$$\overrightarrow{v_{}}=\frac{d\overrightarrow{ON}}{dt}=(\overrightarrow{ON}){\text{'}}_t$$   وبالتالي السرعة :

$$\overrightarrow{v_{}}=v_x\text{}.\overrightarrow{i_{}}+v_y.\text{}\overrightarrow{j_{}}$$

حيث ان مركبتي شعاع السرعة هما :

$$\overrightarrow{v_{}}:\text{}\{\begin{array}{l}{v}_x=(x){\text{'}}_t\\ v_y=(y){\text{'}}_t\end{array}$$

وتعطى شدة "طويلة" شعاع السرعة - القيمة العددية المطلقة -  بالعلاقة : 

$$v=\sqrt{v_x{}^2+v_y{}^2}$$

شعاع التسارع في جملة  المقارنة الديكارتية : 

يعطى شعاع السرعة في جملة المقارنة الديكارتية بالعلاقة : 

$$\overrightarrow{v_{}}=v_x\text{}.\overrightarrow{i_{}}+v_y.\text{}\overrightarrow{j_{}}$$

وبما أن شعاع التسارع هو مشتق شعاع السرعة .. فإن : 

$$\overrightarrow{a_{}}=\frac{d\overrightarrow{v_{}}}{dt}=(\overrightarrow{v_{}}){\text{'}}_t=(\overrightarrow{ON})\text{'}{\text{'}}_t$$أي التسارع : 

$$\overrightarrow{a_{}}=a_x\text{}.\overrightarrow{i_{}}+a_y.\text{}\overrightarrow{j_{}}$$

حيث أن مركبتي شعاع التسارع هما : 

$$\overrightarrow{a_{}}:\text{}\{\begin{array}{l}{a}_x=(v_x){\text{'}}_t=(x)\text{'}{\text{'}}_t\\ a_y=(v_y){\text{'}}_t=(y)\text{'}{\text{'}}_t\end{array}$$

وتعطى شدة " طويلة " شعاع التسارع  -أي قيمته العددية المطلقة - بالعلاقة : 

$$a=\sqrt{a_x{}^2+a_y{}^2}$$

تمرين : 

يعطى شعاع الموضع لمتحرك في الجملة الديكارتية بالعلاقة : 

$$\overrightarrow{O{N}_{}}=(t^3-2t^2+t)\text{}.\overrightarrow{i_{}}+(3t^2+t).\text{}\overrightarrow{j_{}}$$

1- استنتج عبارة شعاع السرعة و شعاع التسارع . 

2- حدد موضع المتحرك في اللحظة t=2s .. و أحسب قيمة السرعة و قيمة التسارع في تلك اللحظة . 

الحل : 

1- شعاعا السرعة و التسارع

• شعاع السرعة :  نشتق شعاع الموضع للحصول على شعاع السرعة " نشتق احداثيي شعاع الموضع " : 

$$\overrightarrow{v_{}}=(\overrightarrow{O{N}_{}}){\text{'}}_t=(3t^2-4t^{}+1)\text{}.\overrightarrow{i_{}}+(6t+1).\text{}\overrightarrow{j_{}}$$  

• شعاع التسارع : ونشتق شعاع السرعة بالنسبة للزمن للحصول على شعاع التسارع : 

$$\overrightarrow{a_{}}=(\overrightarrow{v_{}}){\text{'}}_t=(6t-4)\text{}.\overrightarrow{i_{}}+(6).\text{}\overrightarrow{j_{}}$$ 

 2- في اللحظة t=2s

•  تحديد الموضع :  

من احداثيي الموضع : 
$$\begin{array}{l}x=t^3-2t^2+t=2^3-2\times 2^2+2=2m\\ y=3t^2+t=3\times 2^2+2=14m\end{array}$$ أي الموضع هو : (2,14)N

• تحديد قيمة السرعة : 

من احداثيي السرعة : 


$$\begin{array}{l}{v}_x=3t^2-4t^{}+1=3\times 2^2-4\times 2^{}+1=5m.s^{-1}\\ v_y=6t+1=6\times 2+1=13m.s^{-1}\end{array}$$ وبالتالي قيمة السرعة : 
$$\begin{array}{l}v=\sqrt{v_x{}^2+v_y{}^2}\\ v=\sqrt{5^2+{13}^2}=\sqrt{194}\\ v=13.93m.s^{-1}\approx 14m.s^{-1}\end{array}$$  

• تحديد قيمة التسارع : 

من احداثيي التسارع : 
$$\begin{array}{l}{a}_x=6t-4=6\times 2-4=8m.s^{-2}\\ a_y=6m.s^{-2}\end{array}$$ وبالتالي قيمة التسارع : 
$$\begin{array}{l}a=\sqrt{a_x{}^2+a_y{}^2}\\ a=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}\\ a=10m.s^{-2}\end{array}$$  

أي في اللحظةt=2s  يكون المتحرك في الموضع (2,14) و سرعته14m.s^-1  و تسارعه 10m.s^-2. 

ملاحظة هامة تذكرة بقواعد الاشتقاق وأمثلة عليها : 

$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\left(a\right){\text{'}}_t=0\\ \left(a.t+b\right){\text{'}}_t=a\\ \left(t^n\right){\text{'}}_t=n.t^{n-1}\\ \left(a.u\right){\text{'}}_t=a.\left(u\right){\text{'}}_t\\ \left(u+v\right){\text{'}}_t=\left(u\right){\text{'}}_t+\left(v\right){\text{'}}_t\end{array}\right]\stackrel{Ex,}{\to }\left(\begin{array}{l}\left(2\right){\text{'}}_t=0\\ \left(3.t-4\right){\text{'}}_t=3\\ \left(t^3\right){\text{'}}_t=3.t^{3-1}=3.t^2\\ \left(-2.t^4\right){\text{'}}_t=-2.\left(t^4\right){\text{'}}_t=-2\times 4t^{4-1}=-8t^3\\ \left(2t^3+t^2\right){\text{'}}_t=\left(2t^3\right){\text{'}}_t+\left(t^2\right){\text{'}}_t=6t^2+2t\end{array}\right)\\ a,b,n=const\\ u,v=f(t)\end{array}$$ 

حيث أن : 

• a,b,n ثوابت عددية .
•  u,v توابع لـ t .