الحركة المستقيمة (2).. مسائل و تطبيقات

أولاً : مسائل في الحركة المستقيمة المنتظمة

مسألة 1:

تتحرك نقطة على مسار مستقيم بسرعة ثابتة فاصلتها في اللحظة 2s هي 3m و في اللحظة 4s كانت الفاصلة 9m استنتج تابع الفاصلة .

الحل :

\begin{array}{l} (\begin{matrix} t_{1} = 2 s & x_{1} = 3 m \\ t_{2} = 4 s & x_{2} = 9 m \end{matrix}) \\ نعوض المعلومات في معادلة الفاصلة \\ x = v . t + x_{0} : (\begin{array}{l} 3 = v . (2) + x_{0} ... (I) \\ 9 = v . (4) + x_{0} ... (I I) \end{array}) \\ 9 - 3 = (4 - 2) v + x_{0} - x_{0} = 2. v \\ v = 3 m . s^{- 1} \end{array}

\begin{array}{l} 9 = (3) . (4) + x_{0} \\ x_{0} = - 3 m \end{array}

\begin{array}{l} x = 3. t - 3 \end{array}

مسألة 2 :

إذا كانت سرعة القطار 90km/h و طوله 75 m أحسب الزمن اللازم لاجتيازه بكامل طوله نفق طوله 200m .

الحل :

لكي يجتاز القطار النفق بكامل طوله نأخذ لحطة بدأ دخول مقدمة القطار إلى النفق إلى لحظة خروج مؤخرته من الطرف الآخر و بالتالي المسافة المقطوعة هي طول النفق و يضاف إليه طول القطار :

\begin{array}{l} v = 90 k m / h = 90 \times \frac{1000 m}{3600 s} = 25 m . s^{- 1} \\ d = L_{H} + L_{T} = 200 + 75 = 275 m \\ d = v . t \Rightarrow t = \frac{d}{v} = \frac{275}{25} \\ t = 11 s \end{array}

مسألة 3 :

سيارة يشير عداد المسافات فيها على القيمة 3456km و تسير بسرعة ثابتة لمدة 45min لتصبح قيمة العداد 3552km أحسب قيمة السرعة بواحدة km/h و من ثم بالجملة الدولية .

الحل :

\begin{array}{l} d = 3554 - 3446 = 108 k m \\ t = 45 \min = 0.75 h \\ d = v . t \\ v = \frac{d}{t} = \frac{108}{0.75} = 144 k m / h \\ v = 144 \times \frac{1000 m}{3600 s} = 40 m . s^{- 1} \end{array}

ثانياً: مسائل في الحركة المستقيمة المتغيرة بإنتظام

مسألة 1 :

تتحرك سيارة بسرعة 5m.s^-1 تتزايد السرعة بشكل منتظم لتصبح 25m.s^-1 خلال 40s و المطلوب أحسب التسارع و المسافة المقطوعة .

الحل :

\begin{array}{l} [\begin{array}{l} v_{0} = 5 m . s^{- 1} \\ v = 25 m . s^{- 1} \\ t = 40 s \end{array}] \\ من تابع السرعة \\ v = a . t + v_{0} \Rightarrow a = \frac{v - v_{0}}{t} \\ a = \frac{25 - 5}{40} = 0.5 m . s^{- 2} \\ من فرق مربعي سرعتين \\ v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a . d \Rightarrow d = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a} \\ d = \frac{{(25)}^{2} - {(5)}^{2}}{2 \times 0.5} = 600 m \end{array}

مسألة 2 :

تتحرك نقطة على مسار مستقيم بتسارع ثابت فاصلتها في اللحظة 2s هي 3m و بسرعة 1m.s^-1 و في اللحظة 6s كانت الفاصلة 15m استنتج تابعي السرعة و الفاصلة .

الحل :

\begin{array}{l} (\begin{matrix} t_{1} = 2 s & x_{1} = 3 m & v_{1} = 1 m . s^{- 1} \\ t_{2} = 6 s & x_{2} = 15 m \end{matrix}) \\ نعوض المعطيات في تابع الفاصلة \\ x = \frac{1}{2} a . t^{2} + v_{0} . t + x_{0} \Rightarrow {\begin{matrix} 3 = \frac{1}{2} a . {(2)}^{2} + v_{0} . (2) + x_{0} ... (1) \\ 15 = \frac{1}{2} a . {(6)}^{2} + v_{0} .6 + x_{0} ... (2) \end{matrix} \\ نطرح المعادلة الأولى من الثانية \\ 15 - 3 = \frac{1}{2} a . (36 - 4) + v_{0} . (6 - 2) + x_{0} - x_{0} \\ 12 = 16 a + 4 v_{0} ...... (3) \\ من  تابع  السرعة \\ v = a . t + v_{0} \begin{matrix}  \end{matrix} \Rightarrow 1 = a . (2) + v_{0} \Rightarrow \\ v_{0} = 1 - 2 a ...... (4) \\ نعوض في المعادلة   3ـ \\ 12 = 16 a + 4 (1 - 2 a) = 8 a + 4 \Rightarrow \\ a = 1 m . s^{- 2} \\ نعود للمعادلات السابقة \\ السرعة الابتدائية \\ (4) \Rightarrow v_{0} = 1 - 2 (1) = - 1 m . s^{- 1} \\ الفاصلة الابتدائية \\ (1) \Rightarrow 3 = \frac{1}{2} (1) . {(2)}^{2} + (- 1) . (2) + x_{0} \\ x_{0} = 3 m \\ نعوض كل ماسبق في التوابع فنجد \\ x = \frac{1}{2} a . t^{2} + v_{0} . t + x_{0} \Rightarrow \begin{matrix} x = \frac{1}{2} t^{2} - t + 3 \end{matrix} \\ v = a . t + v_{0} \begin{matrix}  \end{matrix} \Rightarrow \begin{matrix} v = t - 1 \end{matrix} \end{array}

مسألة 3 :

ينطلق قطار بدءاً من السكون بتسارع ثابت ليبلغ سرعة 72km/h بعد قطعه مسافة 100m .. أحسب التسارع و الزمن اللازم ..
الحل :

\begin{array}{l} [\begin{array}{l} v_{0} = 0 \\ v = 72 k m / h = 72 \times \frac{1000 m}{3600 s} = 20 m . s^{- 1} \\ d = 100 m \end{array}] \\ من فرق مربعي سرعتين \\ v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a . d \Rightarrow a = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 d} \\ a = \frac{{(20)}^{2} - {(0)}^{2}}{2 \times 100} = 2 m . s^{- 2} \\ من معادلة السرعة \\ v = a . t + v_{0} \Rightarrow t = \frac{v - v_{0}}{a} \\ t = \frac{20 - 0}{2} = 10 s \end{array}

ثالثاً: مسائل تحوي النمطين

مسألة 1 :

مصعد في ناطحة سحاب يعمل وفق الآلية التالية : يقلع بدءاً من السكون بتسارع ثابت 5m.s^-1 حت بلوغه سرعة 2m.s^-1 .. من ثم يحافظ على هذه السرعة إلى قبل الوصول للنهاية بمتر واحد حيث يتباطأ بانتظام حتى يتوقف . و المطلوب .

أحسب المسافة المقطوعة و الزمن اللازم في مرحلة الإقلاع .
أحسب التسارع و الزمن اللازم في مرحلة التوقف .
أحسب الزمن اللازم للصعود ثلاث طبقات علماً أن ارتفاع الطبقة 5m .

الحل :

1- مرحلة الإقلاع run:

\begin{array}{l} [\begin{array}{l} v_{0} = 0 \\ v = 2 m . s^{- 1} \\ a = 5 m . s^{- 2} \end{array}] \\ v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a . d \Rightarrow d = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a} \\ d_{r} = \frac{{(2)}^{2} - {(0)}^{2}}{2 \times 5} = 0.4 m \\ v = a . t + v_{0} \Rightarrow t = \frac{v - v_{0}}{a} \\ t_{r} = \frac{2 - 0}{5} = 0.4 s \end{array}

2- مرحلة التوقف stop:

\begin{array}{l} [\begin{array}{l} v_{0} = 2 m . s^{- 1} \\ v = 0 \\ d_{s} = 1 m \end{array}] \\ v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a . d \Rightarrow a = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 d} \\ a_{s} = \frac{{(0)}^{2} - {(2)}^{2}}{2 \times 1} = - 2 m . s^{- 2} \\ v = a . t + v_{0} \Rightarrow t = \frac{v - v_{0}}{a} \\ t_{s} = \frac{0 - 2}{- 2} = 1 s \end{array}

3- قطع الطبقات الثلاث :

نعلم من الطلبين السابقين زمني الإقلاع والتوقف .. وتوجد بينهما مرحلة الإنتقال بسرعة ثابتة ..

مرحلة انتقال بسرعة منتظمة Normal يتم فيها قطع مسافة d هي عدد الطبقات مضروباً بارتفاع الطبقة و يطرح منها مسافة الاقلاع والتوقف .

\begin{array}{l} v = 2 m . s^{- 1} \\ d_{n} = 3 \times 5 - (0.4 + 1) = 13.6 m \\ d = v . t \Rightarrow t_{n} = \frac{13.6}{2} = 6.8 s \end{array}

الزمن الكلي :

\begin{array}{l} t_{T O T} = t_{r} + t_{s} + t_{n} \\ t_{T O T} = 0.4 + 1 + 6.8 = 8.2 s \end{array}

مسألة 2 :

يترك شخص حجر لتسقط من فوهة بئر .. فإذا سمع صوت سقوط الحجر في الماء بعد مرور 4s أحسب ارتفاع البئر .

إن علمت أن سقوط الحجر يتم بدون سرعة ابتدائية بتسارع يساوي تسارع الجاذبية الأرضية g=10m.s^-2 . و الصوت ينتقل بسرعة ثابته هي 330m.s^-1.

الحل :

\begin{array}{l} t = 4 s \\ سقوط الحجر بحركة مستقيمة متغيرة بانتظام \\ d = \frac{1}{2} a . t_{1}^{2} + v_{0} . t_{1} = \frac{1}{2} g . t_{1}^{2} \begin{matrix}  \end{matrix} \Rightarrow t_{1} = \sqrt{\frac{2 d}{g}} \\ ينتقل الصوت بسرعة ثابتة \\ d = v . t_{2} \begin{matrix}  \end{matrix} \Rightarrow t_{2} = \frac{d}{v} \\ الزمن الفاصل بين ترك الحجر وسماع الصوت \\ t = t_{1} + t_{2} = \sqrt{\frac{2 d}{g}} + \frac{d}{v} = 4 s \\ \frac{1}{v} d + \sqrt{\frac{2}{g}} . \sqrt{d} - 4 = 0 \begin{matrix}  \end{matrix} # \\ لحل المعادلة نفرض أن \\ \sqrt{d} = x \land d = x^{2} \Rightarrow \\ a . x^{2} + b . x + c = 0 \\ \frac{1}{330} d + \sqrt{\frac{2}{10}} . \sqrt{d} - 4 = 0 \\ بالتالي نجد \\ Δ = b^{2} - 4 a . c = \frac{2}{10} - 4. \frac{1}{330} . (- 4) \approx 0.25 \\ \sqrt{Δ} = 0.5 \\ بالتالي الحلول \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- \sqrt{\frac{2}{10}} . \pm 0.5}{2. (\frac{1}{330})} \Rightarrow {\begin{cases} x_{1} = 6.07 \\ x_{2} = - 108.93 N . A \end{cases} \\ d = x^{2} = {(6.07)}^{2} = 36.84 m \end{array}

وبالتالي عمق سطح ماء البئر 36.84m .

مسالة 3 :

تنطلق سيارة بدءاً من السكون بتسارع ثابت لتقطع مسافة 1km تصل بنهايتها بسرعة 72km/h ومن ثم تحافظ هذه السيارة على سرعتها لمدة 5min و من بعدها تتباطأ بانتظام لتتوقف بعد 80s ..

المطلوب :